فرض کنید  یک مجموعه باشد. یک پایه‌ی توپولوژی‌ در  گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های  (موسوم به اعضای پایه) می‌باشد به‌طوری‌که:

 

1- به ازای هر ، دست‌کم یک عضو پایه مانند  شامل  موجود است.

 

2- اگر  متعلق به مقطع دو عضو پایه مانند و  باشد، آن‌گاه عضوی از پایه مانند  وجود دارد به طوری‌که  و .

 

 تعریف 1-4. اگر ? پایه‌ی توپولوژی در باشد، آن‌گاه ، توپولوژی تولید شده به وسیله‌ی ?، چنین تعریف می‌شود:

 

زیرمجموعه‌ی  از  را در  باز گوییم(یعنی عضوی از  باشد)، اگر به‌ازای هر ، عضوی از پایه مانند ?  وجود داشته باشد به طوری‌که  و .

 

بنابر تعریف بالا، هر عضو ? در  باز است، بنابراین ?.

 

 تعریف 1-5. توپولوژی حاصل‌ضربی

 

فرض کنید  و  دو فضای توپولوژیک باشند. توپولوژی حاصل‌ضربی در توپولوژی است که پایه‌ی آن گردایه‌ی ? متشکل از همه‌ی مجموعه‌هایی به صورت است که در آن زیرمجموعه‌ی بازی از و زیرمجموعه‌ی بازی از است.

 

 قضیه 1-6. اگر ? پایه‌ای برای توپولوژی و ? پایه‌ای برای توپولوژی باشد، آن‌گاه گردایه‌ی

 

 پایه‌ای برای توپولوژی است.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 114 مراجعه کنید.

 

تعریف 1-7. توپولوژی زیرفضایی

 

فرض کنید یک فضای توپولوژیک با توپولوژی  باشد. اگر زیرمجموعه‌ای از باشد، گردایه‌ی

 

یک توپولوژی در است و به توپولوژی زیرفضایی موسوم است. با این توپولوژی، را یک زیرفضای می‌خوانند.

 

لم 1-8. اگر ? پایه‌ای برای توپولوژی باشد، آن‌گاه گردایه‌ی پایه‌ای برای توپولوژی زیرفضایی است.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 116 مراجعه کنید.

 

 قضیه 1-9. اگر زیرفضایی از و زیرفضایی از باشد، آن‌گاه توپولوژی حاصل‌ضربی در  همان توپولوژیی است که در به عنوان یک زیرفضای القاء می‌شود.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 118 مراجعه کنید.

 

 تعریف 1-10. نگاشت خارج‌قسمتی

 

فرض کنید و دو فضای توپولوژیک باشند و نگاشتی پوشا باشد. نگاشت را یک نگاشت خارج‌قسمتی خوانیم در صورتی‌که هر زیر‌مجموعه‌ی مانند در باز است اگر و فقط اگر در باز باشد.

 

تعریف 1-11. توپولوژی خارج قسمتی

 

اگر  یک فضا، یک مجموعه و یک نگاشت پوشا باشد، آن‌گاه تنها یک توپولوژی در وجود دارد که  نسبت به آن، نگاشت خارج‌قسمتی است. این توپولوژی به توپولوژی خارج‌قسمتی القاء شده توسط موسوم است.

 

البته توپولوژی چنین تعریف می‌شود که آن را متشکل از زیرمجموعه‌هایی مانند از می‌گیریم که در باز باشد.

 

تعریف 1-12. توپولوژی جعبه‌ای

 

فرض کنید خانواده‌ی اندیس‌داری از فضاهای توپولوژیک باشند. گردایه‌ی همه‌ی مجموعه‌های به صورت را که به‌ازای هر ، مجموعه‌ی در باز است، به عنوان یک پایه برای توپولوژی‌ای در فضای حاصل‌ضربی اختیار می‌کنیم. توپولوژی تولید‌شده به وسیله‌ی این پایه را توپولوژی جعبه‌ای می‌نامیم.

 

تعریف 1-13. مقایسه‌ی توپولوژی جعبه‌ای و حاصل‌ضربی

 

یک پایه‌ی توپولوژی جعبه‌ای در ، همه‌ی مجموعه‌های به شکل  است که در آن به‌ازای هر ، مجموعه‌ی در باز است. توپولوژی حاصل‌ضربی در ، همه‌ی مجموعه‌های به شکل است که در آن به‌ازای هر ، مجموعه‌ی در باز است و به‌ استثنای عده‌ای متناهی از ها،  مساوی است.

 

نکته 1-14. برای حاصل‌ضرب‌های متناهی این دو توپولوژی دقیقاً یکی هستند.

 

تعریف 1-15. نگاشت پیوسته

 

اگر به‌ازای هر و هر همسایگی مانند ، یک همسایگی مانند یافت شود به طوری‌که ، آن‌گاه نگاشت را پیوسته گوییم.

 

قضیه 1-16. فرض کنید ، و فضاهای توپولوژیک باشند.

 

1– اگر زیرفضایی از باشد، آن‌گاه تابع احتوای پیوسته است.

 

2– اگر و پیوسته باشند، آن‌گاه تابع مرکب نیز پیوسته است.

 

3– اگر تابع پیوسته و زیر‌فضایی از باشد، آن‌گاه تابع تحدید نیز پیوسته است.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 139 مراجعه کنید.

 

تعریف 1-17. فرض کنید  با ضابطه‌ی و  با ضابطه‌ی تعریف‌شده باشند. نگاشت‌های و ، به‌ترتیب نگاشت‌های تصویری  به روی عوامل اول ودوم خوانده می‌شوند.

 

لم 1-18. نگاشت‌های تصویری و ، پیوسته و پوشا می‌باشند.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 115 مراجعه کنید.

 

قضیه 1-19. لم چسب

 

فرض کنید و  و در بسته باشند. به علاوه، فرض کنید و پیوسته باشند. در این‌صورت اگر به ازای هر ، داشته باشیم ، آن‌گاه می‌توان و را با هم در‌آمیخت تا تابع پیوسته‌ی را به‌دست آورد که به‌ازای ، به‌صورت و به‌ازای ، به‌صورت تعریف شود.

 

برهان. به مرجع [17]، مراجعه کنید.

 

تعریف 1-20. نگاشت همئومورفیسم

 

فرض کنید  و  دو فضای توپولوژیکی باشند و تابع تناظری دوسویی باشد. اگر و تابع معکوس آن   ، هر دو پیوسته باشند، آن‌گاه را همئومورفیسم می‌خوانیم.

 

تعریف 1-21. هموتوپی

 

فرض کنیم  و نگاشت‌های پیوسته‌ای از فضای  به فضای  باشند.  را با هموتوپ گوییم در صورتی‌که نگاشت پیوسته‌ای مانند  موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر ، داشته باشیم:

 

جایی‌که . نگاشت را یک هموتوپی بین  و می‌نامیم. اگر  با هموتوپ باشد می‌نویسیم .

 

 

 تعریف 1-22. مسیر در فضای توپولوژیکی

 

اگر  نگاشت پیوسته‌ای باشد به‌طوری‌که و ، گوییم مسیری در  از به است. همچنین را نقطه‌ی آغاز و را نقطه‌ی انجام مسیر   می‌نامیم.

 

 تعریف 1-23. هموتوپ‌راهی

 

مسیرهای  و که بازه  را به فضای می‌نگارند، هموتوپ‌راهی گوییم در صورتی‌که هر دو دارای نقطه‌ی آغازی ونقطه‌ی انجامی باشند ونگاشت پیوسته‌ای مانند موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر داشته باشیم:

 

 را یک هموتوپ‌راهی بین و می‌نامیم. اگر با هموتوپ‌راهی باشد می‌نویسیم .

 

لم 1-24. رابطه‌های  و  روابط هم‌ارزی هستند.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه 320 رجوع کنید.

 

تعریف 1-25. کمند در فضای توپولوژیکی

 

فرض کنید یک فضای توپولوژیکی و نقطه‌ای از آن باشد. مسیری در  که از شروع و به منتهی می‌شود، یک کمند بر پایه‌ی  نامیده می‌شود.

 

تعریف 1-26. اگر مسیری در از  به  و  مسیری دیگر در  از  به  باشد، آن‌گاه ترکیب  و  را به عنوان مسیری مانند  با تساوی زیر تعریف می‌کنیم:

 

 تعریف 1-27. اولین گروه بنیادی

 

مجموعه رده‌های هموتوپی‌راهی کمندهای بر پایه‌ی ، با عمل  اولین گروه بنیادی  نسبت به نقطه‌ی‌ پایه  نامیده می‌شود. این گروه را با  نمایش می‌دهیم.

 

تعریف 1-28. فرض کنید یک نگاشت پیوسته و پوشا باشد. گوییم مجموعه‌ی باز از به وسیله‌ی  به طور هموار پوشانده می‌شود هرگاه تصویر عکس را بتوان در به صورت اجتماعی از مجموعه‌های باز جدا از هم نوشت به طوری‌که به‌ازای هر تحدید  به  همئومورفیسمی از  به روی باشد. هر یک از مجموعه‌های را یک قاچ می‌نامیم.

 

تعریف 1-29. نگاشت پوششی

 

فرض کنید یک نگاشت پیوسته و پوشا باشد. اگر هر نقطه‌ی از  دارای همسایگی مانند باشد که به وسیله‌ی به‌طور هموار پوشانده شود آن‌گاه را یک نگاشت پوششی و را یک فضای پوششی می‌نامیم.

 

تعریف 1-30. بالابر